Massikeskus

Ühtlase sfääri / ketta massikeskus asub selle sfääri / ketta keskel (see võib tunduda triviaalne, kuid see kehtib ainult juhtudel, kui massijaotus on sfääriliselt sümmeetriline) Massikeskust võib vaadelda kui kogu keha kollektiivset esindatust ühe punkti abil (pange tähele, et see pole rangelt tõsi, kuid meie eesmärkidel aitab see luua mõningaid põhilisi intuitsioone). Samamoodi on ühtlase kuubiku / ruudukujulise plaadi massikeskus kuubi / ruudukujulise plaadi keskel.

Gravitatsiooniline potentsiaalne energia

Objekti gravitatsioonilise potentsiaalse energia annab

$$ U = mg (h _ {\ text {COM}}) \ silt {1} $$

kus $ m $ on kere mass, $ g $ on gravitatsioonikiirendus ja $ h _ {\ text {COM}} $ on massikeskme kõrgus. Võrrandis $ (1) $ oleme eeldanud, et potentsiaalseks energiaks on maapinnal $ 0 $ st $ h _ {\ text {COM}} = 0 $ . Nüüd tõstke keha nii, et selle massikeskus liiguks kõrguse $ h_1 $ kõrgusele $ h_2 $ , peame tegema mõnda tööd, mis on võrdne keha potentsiaalse energia muutusega:

$$ W = \ Delta U = mg (h_2-h_1) $$

Veerev ruut

Nagu näete allolevast GIF-ist, on veereval ruudul omamoodi ebakindel pöörlev liikumine. Ebakindel selles mõttes, et selle massikeskus tõuseb üles ja alla, läheb üles ja alla ning on edasi.

^{Animatsiooniallikas}

Nii nagu ülalpool arvutasime, peame ruudu massikeskme kõrguse tõstmiseks pisut tööd tegema (seal on kindel nurk, $ 45 ^ {\ circ} $ span> sel juhul kuni selleni peate ruudu pöörama, kui soovite, et see veereks. Kui pöörate ruudu sellest väiksema nurga all, langeb ruut tagasi). Ja kui massikeskus jõuab maksimaalse kõrguseni, langeb see siis ise teisele poole ja ruudu kukkumisel saadud kineetiline energia hajub heli- ja soojusenergiana ruudu kokkupõrke elastsuse tõttu maapind. Nüüd peaksite uuesti veerema panema ruudu massikeskme ülespoole. See protsess hõlmab pidevalt energia andmist massikeskme tõstmiseks ja seejärel energia kaotamist ruudu maapinnale langemise tõttu. Ja see muudab ruudu veeremise tõesti keeruliseks.

Miks läbib see elastseid kokkupõrkeid?

Ruut on altpoolt ringikujulise kettaga elastsemate kokkupõrgete tõttu altid kaotama rohkem energiat, kuna pinnaga puutub kokku suurem pind. See sarnaneb jalgratta rehvi juhtumiga. Kui rehv on täis pumbatud, on see sfääriline ja seetõttu on madalam kokkupuude maapinnaga, mille tulemuseks on väiksem energiakaotus, samas kui tühjenenud rehvil on maapinnaga kokkupuutes suurem pind, mis muudab selle elastsemateks kokkupõrgeteks kergemaks. p>

Veerev ring

Kui ring / kera veereb, jääb massikeskme kõrgus kogu liikumise ajal kuju sümmeetria tõttu samaks. Seda näete ka allpool olevast GIF-ist.

^{Animatsiooniallikas}

See tähendab, et ükski meie pakutav energia ei lähe massikeskme kõrguse muutmisel raisku. Ja kogu energia kasutatakse sfääri / ringi kiirendamiseks, mis muudab meid kergemaks selle kiiremaks veeremiseks.

Miks jääb selle massikeskus samale kõrgusele?

Tõestame ranguse huvides, et ring on ainus 2D kuju, millel on omadus, et selle massikeskus jääb veeremisel samale kõrgusele. Oletame kõigepealt, et eksisteerib veel üks kuju (mitte ring), millel on ka see omadus. See tähendab, et ükskõik, kuidas te selle kuju maapinnale panete (muidugi ei saa me seda lihtsalt lamedaks panna), jääb massikese alati püsivale kõrgusele. Mis tähendab, et maa ja massikeskme vaheline kaugus on alati sama. Mis siis tähendab, et maad puudutava piiripunkti ja massikeskme vaheline kaugus on alati sama. See kehtib aga kõigi piiripunktide kohta, kuna kõiki piiripunkte saab panna maad puudutama (eeldame jällegi kumerat kuju). See tähendab, et kõik piiripunktid asuvad massikeskmest samal kaugusel. See tähendab, et piiripunktid asuvad ringil, mis on koondunud keha massi keskmesse. Ja seega ei saa soovitud kuju olla midagi muud kui ümmargune ketas.

Inertsimoment

Inertsimomendil on siin ka oma roll. Võib näidata, et ükskõik millise 2D kujuga konstantse ala korral oleks ümmargusel kettal madalaim inertsimoment (eeldades, et kõik kujundid tehakse samadest materjalidest / tihedus). See tähendab, et ümmarguse ketta veeretamine oleks mõnevõrra lihtsam kui mis tahes muu 2D kuju. Sarnane argument kehtib ka 3D-kujundite kohta, kuid siin hoiaksime kuju (ala 3D-analoog) kuju muutmise ajal konstantsena. Kuid siin on teoreetiliselt kõige väiksem inertsimoment lõpmatult väikese raadiusega ja lõpmata suure pikkusega silindril.

Lisa

Spetsiaalsete pindade jaoks võite panna ruudu pöörlema ​​nagu kera. Vaadake allpool olevat GIF-i.

^{Animatsiooniallikas}

Nagu näete, kui kasutame pinda, mis koosneb tagurpidi pööratud kontaktvõrgu kõveratest, saame teha isegi ruudukujulise rulli.Miks see tõsi on, saate vaadata tuletamist siit.

Nagu see vastus soovitas, on ka konstantse laiusega kõverad veeretamisel head kandidaadid.Nii et rangelt öeldes pole ring ainus kuju, mis võib tasasel pinnal veereda.Kuid see on veeremise osas ruutu parem.

Ideaalses libisemisvastases olekus veereb pall pärast esialgset lööki või surumist igavesti. Pärast veeremist ei pea te rakendama välist jõudu, te ei vaja välist energiat.

Blokk ei saa veereda. Selle pööramiseks peate massikeskme üles tõstma $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} a $ ( $ a $ on külje pikkus), milleks on vaja $ \ frac {\ sqrt {2} -1} {2 } energiat $ . Pärast 45 kraadi pööramist võib see kukkuda teisele poole, liikudes veel 45 kraadi. Kui plokk põrkab vastu maad, kaotab see kineetilise energia soojusenergiaks ja vajab uuesti tõstmist.

Energeetiliselt öeldes ei vaja üks üldse energiat, teine ​​aga vajab igas tsüklis piiratud kogust energiat. See on erinevus finite ja none vahel. Nagu mainisite, siis kui jätkate neid sama jõuga, siis pall kiirendab edasi. Blokeerimist kiirendada oleks väga masendav. Nii et pikemas perspektiivis on nende kiiruste vahe infinite (unustage praegu Einstein) ja finite.

Kuidas võrrelda lõpmatut ja piiratud? Kuidas võrrelda piiratud ja mitte ühtegi?

Matemaatiliselt on ring kordumatu kuju kinnisest alast väiksema ümbermõõduga.Seega, kuna iga kord, kui see pöörleb, läbib see ümbermõõduga võrdse vahemaa, võtab selle pöörlemine vähem aega kui mis tahes muu kujuga.

Koos sellega, et telg ei liigu kunagi üles ja alla, tähendab see, et selle liikumiseks on vaja kõige vähem jõudu (ideaalses seades).

C ümmargused objektid pole kõige kiiremad.

Kasutage näiteks trilobulaarset.(Või mõni muu sile kumer kuju.)

Alustage seda sellel Vikipeedia lehel näidatud suunas.See on suund, kus selle massikeskus on kõige kõrgem.Siis veereb see tavaliselt kiiremini kui ring, kuna osa potentsiaalsest energiast on muundatud kineetiliseks energiaks.Ainult nendel hetkedel, kus selle massikeskus on tagasi algsele kõrgusele, läheb see sama aeglaselt kui ring.

Isegi teie ruudu näide läheb kiiremini kui ring, kui asendada lamedad küljed kergelt kumerduvate külgedega ja ümardada nurki veidi ja pöörata seda 45 °, nii et see hakkab "nurga peal seisma".

Ringi ja ruudu vahel on kaks erinevust, mis põhjustavad. Esimene neist on inertsimoment. Vabas ruumis ei anna antud pöördemoment ruudul ja rattal sama nurkkiirendust. Võrrandiks on pöördemoment = inertsmoment X nurkkiirendus. Inertsimomenti saab arvutada või leida tabelist.

Peamine põhjus, miks kahe ratta vahel on erinevus, on aga see, et kui pöördute ühe tipu ümber pöörlemisest teise otsa, siis on ruudukujulise rehvi purustamisel suur energiakadu. maapind iga kord, kui see asetseb ühe küljega maapinnaga paralleelselt. Seejärel kannavad hoog ja põrge seda järgmise tipu kohal pööreldes.

Kui unustate hetkeks oma välise pöördemomendi ja kaalute, mis juhtub pöördepunkti vahetamisel, näete, et peate põhimõtteliselt võtma objekti, mille massikese liigub diagonaalis allapoole, ja liikuma koos massikeskus üles ja edasi liikudes. Selleks peate kokkupuutepunktis avaldama jõudu, mis vähendab ruudukujulise ratta hoogu edasi. Probleem on selles, et mis tahes täpne lahendus sõltub paljudest eeldustest, kuidas toimub üleminek ühe tipu ümber pöörlemiselt teisele. Iga eeldus annab teile erineva vastuse. "Universaalset" vastust pole. See sõltub teie rehvi omadustest.

Realistlik lahendus eeldaks tõenäoliselt lõplike elementide modelleerimist, et näha, kuidas rehv maapinnale jõudes deformeerub, mis võib hüstereesi tagajärjel põhjustada energia kadu, kui rehv on valmistatud kummist. Kuid ka täiesti jäikade rataste puhul kaob hoogu.

Üks lähenemisviis, mis võib toimida, on eeldada, et on olemas mõni koefitsient, mis kirjeldab, kui palju energiat kaotate igal sammul, kui maale jõuate. Selle koefitsiendi arvutamine esimestest põhimõtetest lähtuvalt pole teie eesmärkide jaoks tõenäoliselt vajalik.

Selle kõige kohta saab hea arutelu leida Mcdonaldist, Kirk.(2008).Kuusnurkne pliiats, mis veereb kaldtasandil.Regulaarne ja kaootiline dünaamika.13. 332–343.10.1134 / S1560354708040072.Tundub, et see on autorilt vabalt saadaval aadressil http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/pencil.pdf.See on seotud peamiselt kuusnurkadega, kuid teisi kujundeid käsitletakse ja põhimõisted jäävad samaks.

Muide, ma ei tea, kas teid see inspireeris, kuid Mythbusters tegid ruudukujulisi rattaid. https://www.youtube.com/watch?v=CIN8Q_4iaxU töötab praegu, kuid sobiva Google'i otsingu abil võib juhtuda, kui link on katki.

Energiakadusid ignoreerides paneme ringi ja ruudu kumbki eraldi kallutatud tasasele joonele, mille massikeskmed on horisontaalse maapinna kohal võrdsel kõrgusel. Ruut asub ühel küljel ja mõlema joone (mis on tulevaste nurkade võrdlusjooned) kaldenurk on $ \ frac {1} {4} \ pi $ (või lihtsalt natuke üle selle).

Et võrrelda 2d-ruudu ja 2d-ratta joonkiirusi gravitatsiooniväljas, kui jõudu (antud juhul gravitatsioon annab nii ratta kui ka ruudu puhul), võrreldakse lineaarseid kiirusi: osutades paralleelselt kaldus joonega väärtusega $ \ sqrt {\ frac {1} {2}} \ korda 10 = 7N $ ), on neile loogiline eeldame, et ruudu ja ratta mass on võrdne, $ m $ (ja massi tihedus). See tingimus tähendab, et ruudu $ S_s $ mõlemad küljed on $ \ sqrt {\ pi} $ span > korda ratta raadius, $ R_w $ . St. $ S_s = \ sqrt {\ pi} R_w $ . Pool ruudu diagonaali $ D $ on väärtus $ D = \ sqrt {\ frac {1} {2 } \ pi} R_w $ .

Kasulikud valemid:

Ratta ja ruudu inertsimoment (ruut pöörleb ümber telje, mis on risti ühe selle nurga punktiga, samas kui ruut pöörleb ümber hetkeliste kokkupuutepunktide, nii et saame kasutada paralleeltelje teoreemi):
$ I_w = (\ frac {1} 2 + 1) m {R_w} ^ 2 = \ frac {3} {2} m {R_w} ^ 2 $ $ I_s = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) m {S_s} ^ 2 = (\ frac {1} {6} + \ frac {\ pi} {2}) \ pi m {R_w} ^ 2 $

Ratta ja ruudu pöördemomendid (nii ratta kui ka ruudu CM-i tõmbav raskusjõud):
$ \ vec {\ tau} _w = - \ vec {F_g} \ times \ vec {R_w} $ olid mõlemad $ - \ vec {F_g} $ ja $ \ vec {R_w} $ algavad kontaktpunktist nende sirge ja ratta vahel, mis on alati üksteise suhtes risti. (Pseudo) vektor $ \ vec {\ tau} _w $ osutab ekraanile ja selle pikkus on $ 7mR_w $ .
$ \ vec {\ tau} _s = - \ vec {F_g} \ times \ vec {D} $ , kus $ - \ vec {F_g} $ ja $ \ vec {D} $ algavad ruudu ja joone vahelisest kontaktpunktist. Sel juhul on mõlemal vektoril nurk $ \ theta $ , mis varieerub nurkade vahel $ \ frac {1} { 4} \ pi $ ja $ \ frac {3} {4} \ pi $ . Jällegi osutab pöördemomendi (pseudo) vektor ekraanile ja selle pikkus on 7 miljonit dollarit \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w sin \ theta $ . $ sin \ theta $ integraal nurga $ \ frac {1} {4} \ pi $ span vahel > ja nurk $ \ frac {3} {4} \ pi $ on 1,4 $ $ , seega pöördemomenti vähendatakse väärtusele 7 miljonit dollarit \ sqrt {\ frac {1} {2} \ pi} R_w 1,4 $ .
Seega on ruudu $ {\ tau} _s $ pöördemoment umbes 1,75 $ = 1,25 (= \ sqrt {{\ frac {1} {2}} {\ pi}}) \ korda 1,4 $ sama suur kui ratta pöördemoment $ {\ tau } _w $ : $ {\ tau} _s = 1,75 {\ tau} _w $

Nüüd, $ I_s = 3,6I_w $

Nii et meil on ratta ja ruudu nurkkiirenduse väärtus:
1) $ {\ omega} '_ w = \ frac {\ tau_w} {I_w} $
2) $ {\ omega} '_ s = \ frac {1,75 \ tau_w} {3,61 {I_w}} = 0,48 {\ frac {{\ tau} _w } {I_w}} $

Mõlemad seadmed (nii saate ise mõelda, kuidas see on tehtud) hoiavad nii ringi kui ka ruudu paigas, mis vabastab need nupuvajutusega. See on vajalik, kuna on selge, et ring hakkab liikuma juba siis, kui joon on vaid veidi kaldus w.r.t. horisontaaljoon.

Nüüd vajutage nuppu. Ruudu massikese liigub kontaktvõrgu kõveral nii, nagu on näidatud ülaltoodud esimeses vastuses (mõningate kena graafikaga), erinevus seisneb selles, et kontaktvõrgu kõvera nurk on horisontaaliga 45 kraadi, seega mass ei liigu kunagi üles. See liigub 45 kraadi võrra ringil, mille raadius on $ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} $ kui raadiuse raadius (pool diagonaalist) ruudukujuline) vahemikus 0 kraadi horisontaalselt kuni 45 kraadi allapoole (paralleelselt kallutatud joonega). Pärast seda kordub sama veerand ringist.

Võib olla selge, et kui võrrelda ülal oleva ratta (võrrand 1 ülal) ja sama massiga ruudu (võrrand 2 ülal) nurkkiirendusi, on ratta nurkkiirendus peaaegu kaks korda suurem kui ruudu jaoks suur, nii et ratas saabub kõigepealt mööda joont alla.
Autod kasutavad ruutude asemel rattaid, kuna ratastel on kuju, mis annab neile sama pöördemomendiga suurima nurkkiiruse. Ja seega on kõige lihtsam viis anda autole lineaarne kiirus mõne teisendusmehhanismi abil. Teatud kiiruse saavutamiseks vajab ratastega auto vähem kütust.

Oletame, et 45 kraadi kõrgendatud joon muudetakse kontaktvõrgu kõveras, nagu on näidatud esimeses küsimuses.Sel juhul vahetuvad ratas ja ring nii palju, kui küsimus, kumb neist jõuab esimesena alla (ja seega on kõige suurem lineaarne kiirus).On ilmselge, et enamiku meelevaldselt moodustatud massi puhul sellist kontaktvõrgu kõverat ei eksisteeri.See on ainult väga väike 2d-kujundite alamhulk nagu hulknurgad või ringid, millele on kleebitud võrdselt paigutatud võrdsed osad ringid.

Mulle meeldisid väga FakeModi ja LukeLYU vastused. See on laiendus ja üldistus.

Jääme idealiseeritud kujundite juurde ja eeldame, et ei sisestata täiendavat energiat, mis oleks vajalik liikumise alustamiseks.

Kui tõstate ruudu oma nurgas seisma, siis see ei veeru automaatselt. Ta peab sellest punktist mööda liikumiseks kasutama osa oma energiast. Seda seetõttu, et nurk on eriline punkt, mis vastab PE paindepunktile (metastabiilne tasakaal). Selles potentsiaalses kõveras on rida selliseid punkte nagu ruut rullub. Sümmeetriliselt on ühtlase keha jaoks kõik need paindepunktid selles mõttes ekvivalentsed, et potentsiaalse kõvera kuju on "kohaliku äärmuse lähedal" sama.

Sarnaselt lamedate pindade veeremise jätkamiseks tuleb kulutada energia ülekandmiseks ja iga punkti läbimisel kaotab see energiat (ainult siin on potentsiaalne kadu sügavam). PE väheneb, aeglustub ja lõpuks seiskub väljak kaugemale liikumast.

Ringi jaoks pole sellist paindepunkti. Kõik pinnal olevad punktid on samaväärsed ja kuna erilist punkti pole, pole ka äärmust. Kui rullimine on alanud, jätkub see ilma täiendava jõu rakendamiseta. (Newton 1)

Saame seda argumenti laiendada ka hulknurkadele. Champfer maha iga nurga võrdne summa, siis ei vasta iga tipp mitte ainult paindepunktile, vaid ka kõik meie loodud uued lamedad pinnad. Jällegi sümmeetriliselt, kuid painde igas punktis läheb energia kaduma, kuid see kaotab selle kiiremini.

[Kui jätkate seda protsessi ad nauseum, kuid te ei saa ringi! Kuna ringi tõlkeid tähistav rühm on pidev, SO (2) ja n-gooni omade esitamine on piiratud (D2n), ei saa te sama dünaamikat.]

Sarnaste argumentide kasutamisel võime kaaluda n-mõõtmelisi analooge, kuid me peame olema ettevaatlikud: näiteks 3D-silindril on eelistatud telg (selle pikkus) ja see pole selles mõttes ringi analoog, kuid3-keraline on ja saab olema sarnase dünaamikaga, kuna sellel puudub pidev sümmeetria.

Teie küsimus ei ütle midagi gravitatsioonilise või muu potentsiaalse välja olemasolu või olemasolu kohta, mille olemasolu olen eeldanud.Kui sellist välja pole ja kaotusi pole, siis loomulikult jätkavad teie objektid igavesti.

Objektide liikumise kiirus sõltub loomulikult impulsist.Kuid potentsiaalse välja korral ka hõõrumata olekus kaotavad kõik n-goonid energiat ja puhkavad PE-de kadude tõttu.

On üks tegur, mida arvan, et keegi pole siiani maininud.On märgitud, et ruudu pöörlemisel kõikub see üles ja alla.Üles liikumisel annab jõudu seda juhtiv pöördemoment.Ruudu ülespoole kiirendamiseks vajalik jõud sõltub selle pöörlemiskiirusest.Mida kiirem on pöörlemine, seda rohkem on vaja jõudu.Ülespoole liikudes võime eeldada, et selle jõu saab anda pööret juhtiv pöördemoment.Allapoole liikumisel annab jõudu aga raskusjõud.Seda piirab ilmselgelt gravitatsioonikonstant.Seega, kui ruut pöörleb kiiremini, saabub hetk, kui gravitatsioon ei ole piisav, et hoida seda maapinnaga ühenduses.Siinkohal ei tõlgendata ruudu pöördemomenti enam edasi liikumiseks.Nii et üle selle piiri, isegi kui eeldada, et mitte-elastsete kokkupõrgete tõttu kaotusi pole, kiirendab ringiratast kiiremini ratas.

Kui lubate Wankle mootoriga sarnast ekstsentrilist tähekäigukasti rummu, pole kummalgi liikuvat massikeskme.Ruut kuluks ebaühtlase koormuse tõttu kiiremini (sama teema nagu Wankle mootori tihendid).

Ma arvan, et ideaalsetes tingimustes veerevad ruut ja ring SAMAL KIIRUSEL.Selle põhjuseks on see, et tegelikus elus rullub ring hõõrdepõhjustel kiiremini kui ruut: ruudu kineetiline energia kaob selle kuju tõttu kiiremini kui ringi energia ja läheb soojusenergiale.Kuid ideaalsetes tingimustes, ilma hõõrdumiseta, pole põhjust, et ruut veereks ringist aeglasemalt, välja arvatud juhul, kui sellele rakendatud energiat on vähem kui vaja, nii et see pööraks 45 kraadi, kuid kui see pole nii,potentsiaalne energia läheb kineetiliseks energiaks ja vastupidi igaveseks, liikudes ruudu vähem korrapäraselt, kuid keskmiselt, mis on ringiga võrdne.Ma arvan, et see küsimus on intuitsiooniprobleem selle kohta, kuidas asjad toimuvad "ideaalsetes tingimustes", samamoodi nagu kaks objekti kukuvad samal kiirusel, kui õhuhõõrdumist pole.