Jah. Kvantimise ajal tekkinud universaalsed katted ja keskmised laiendused pärinevad samast põhimõttest:

Projektiivsed esitused

Kui $ \ mathcal {H} $ on meie Hilberti olekute ruum, siis erinevad füüsikalised olekud ei ole vektorid $ \ psi \ in \ mathcal {H} $ , kuid kiired , kuna kompleksarvuga korrutamine ei muuda reegli $$ \ langle A \ rangle_ \ psi = \ frac {ootuse väärtusi \ langle \ psi \ vert A \ vert \ psi \ rangle} {\ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle} $$ ega ülemineku tõenäosusi $$ P ( \ lvert \ psi \ rangle \ to \ lvert \ phi \ rangle) = \ frac {\ lvert \ langle \ psi \ vert \ phi \ rangle \ rvert ^ 2} {\ langle \ phi \ vert \ phi \ rangle \ langle \ psi \ vert \ psi \ rangle} $$ Õige kaalumisruum, kus ruumi kõik elemendid on tõepoolest erinevad füüsikalised olekud, on projektiivne Hilberti ruum $$ \ mathrm {P} \ mathcal {H}: = \ mathcal {H} / \ sim $$ $$ \ lvert \ psi \ rangle \ sim \ lvert \ phi \ rangle: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \ n \ n \ "mathbb {C}: \ lvert \ psi \ rangle = c \ lvert \ phi \ rangle $$ eksemplarid väljamõeldud viis kirjutada, et iga keeruline kiir on punktini kokku tõmmatud. Wigneri teoreemi järgi peaks igal sümmeetrial olema mingi, mitte tingimata unikaalne, ühetaoline esitus $ \ rho: G \ to \ mathrm {U} (\ mathcal {H }) $ . Kuna see peab laskuma täpselt määratletud kiirte transformatsioonini , annab sümmeetria toimele grupi homomorfism projektiivse ühtse rühma $ G \ to \ mathrm {PU} (\ mathcal {H}) $ , mis asub täpses järjestuses $$ 1 \ to \ mathrm {U} (1) \ to \ mathrm {U} (\ mathcal {H}) \ to \ mathrm {PU} (\ mathcal {H}) \ to 1 $$ kus $ \ mathrm {U} (1) $ tähistab "faaside rühma", mis jaguneb projektsiooniruumi minnes. Juba on oluline märkida, et see tähendab, et $ \ mathrm {U} (\ mathcal {H}) $ on $ \ mathrm {PU} (\ mathcal {H}) $ kasutajalt $ \ mathrm {U} (1) $ .

Sümmeetriarühma $ G $ kõigi võimalike kvantiliselt lubatud esituste klassifitseerimiseks peame mõistma lubatud Lie-rühma homomorfisme $ \ sigma: G \ to \ mathrm {PU} (\ mathcal {H}) $ . Kuna lineaarsete esitustega on toredam töötada kui nende imelike projektsiooniliste asjadega, vaatleme

Projektiivsete esituste klassifitseerimist ühtsete lineaarsete esituste järgi

Mis tahes $ g \ G $ , valige esindaja $ \ Sigma (g) \ in \ mathrm {U} (\ mathcal {H}) $ iga $ \ sigma (g) \ in \ mathrm {PU} (\ mathcal {H}) $ kohta. See valik on väga ainulaadne ja vastutab sisuliselt selle eest, kuidas keskne laiendus ilmub. Kuna iga $ g, h \ G $ puhul on meil $ \ sigma (g) \ sigma (h) = \ sigma (gh) $ , peavad esindajate valikud täitma $$ \ Sigma (g) \ Sigma (h) = C (g, h) \ Sigma ( gh) $$ mõne $ C jaoks: G \ korda G \ to \ mathrm {U} (1) $ . Assotsiatiivsuse rakendamine $ \ Sigma (g) \ Sigma (h) \ Sigma (k) $ annab järjepidevuse nõude $$ C (g, hk) C (h, k) = C (g, h) C (gh, k) \ silt {1} $$ , mida nimetatakse ka cocycle identiteediks . Mis tahes muu valiku $ \ Sigma '$ jaoks peab meil olema $$ \ Sigma' (g) = f (g) \ Sigma (g) $$ mõne $ f: G \ to \ mathrm {U} (1) $ jaoks. $ \ Sigma '$ on seotud $ C' $ ja nii saame $$ C '(g, h) \ Sigma' (gh) = \ Sigma '(g) \ Sigma' (h) = f (g) f (h) C (g, h) f ( gh) ^ {- 1} \ Sigma '(gh) $$ , mis annab järjepidevuse nõude $$ C' (g, h) f (gh) = f ( g) f (h) C (g, h) \ tag {2} $$ Seetõttu klassifitseeritakse projektiivsed esitused, andes ühtsete esindajate valiku $ \ Sigma $ , kuid need, mis on seotud $ (2) $ , annavad sama projektsioonilise esituse. Ametlikult on komplekt $$ H ^ 2 (G, \ mathrm {U} (1)): = \ {C: G \ korda G \ to \ mathrm {U} (1 ) \ keskel C \ text {täidab} (1) \} / \ sim $$ $$ C \ sim C ': \ Lefrightarrow \ olemas f: (2) \ text {hold} $$ klassifitseerib $ G $ projektiivsed esitused. Soovime seda kasutada ühtse kujutise konstrueerimiseks millelegi, mis klassifitseerib projektiivse esituse:

Määratlege pool otsene toode $ G_C : = G \ ltimes_C \ mathrm {U} (1) $ mis tahes elemendi $ C $ tüüpilise $ H ^ 2 (G, \ mathrm {U} (1) $ , varustades toote Cartesion $ G \ times \ mathrm {U} (1) $ korrutisega $$ (g, \ alpha) \ cdot (h, \ beta): = (gh, \ alfa \ beeta C (g, h)) $ $ Võib kontrollida, kas see on keskne laiendus, st pildi $ \ mathrm {U} (1) \ to G \ ltimes_C \ mathrm {U} (1) pilt ) $ asub $ G_C $ ja $$ 1 \ to \ mathrm {U} keskel (1) \ to G_C \ to G \ to 1 $$ on täpne. Mis tahes projektsioonilise esituse $ \ sigma $ korral parandage $ \ Sigma, C $ ja määrake lineaarne esitus $$ \ sigma_C: G_C \ to \ mathrm {U} (\ mathcal {H}), (g, \ alpha) \ mapsto \ alpha \ Sigma (g) $$ span > Ja vastupidi, iga $ \ rho $ osade $ G_C $ iga ühine esitus annab paari $ \ Sigma, C $ $ \ Sigma (g) = \ alpha ^ {- 1} \ rho (g, \ alpha) $ poolt .

Seetõttu on projektsioonilised esitused kesksete laienduste lineaarsete esituste suhtes sirgjoonelised.

Lie-algebra tasemel on meil $ \ mathfrak {u} (\ mathcal {H}) = \ mathfrak {pu} (\ mathcal {H}) \ oplus \ mathbb {R} $ , kus aluselement $ \ mathrm {i} $ / $ \ mathbb {R} $ genereerib identiteedi $ \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} \ mathrm {Id} $ . Jätame järgmiselt välja $ \ mathrm {Id} $ . Kui vale algebra elemendile lisatakse reaalarv, eeldatakse, et see korrutatakse sellega .

Korrates ülaltoodud Lie-algebrate argumente, saame, et projektiivne esitus $ \ sigma: G \ to \ mathrm {PU} (\ mathcal {H }) $ kutsub esile Lie algebra $ \ phi: \ mathfrak {g} \ to \ mathfrak {pu} (\ mathcal {H}) $ span>. Esindajate valik $ \ Phi $ kategoorias $ \ mathfrak {u} (H) $ klassifitseerib sellise projektiivne esitus koos elemendiga $ \ theta $ sisse $$ H ^ 2 (\ mathfrak {g}, \ mathbb {R}): = \ {\ theta: \ mathfrak {g} \ times \ mathfrak {g} \ to \ mathbb {R} \ mid \ text {täidab} (1 ') \ text {ja} \ theta (u, v) = - \ theta (v, u) \} / \ sim $$ $$ \ theta \ sim \ theta ': \ Lefrightarrow \ olemas (b: \ mathfrak {g} \ to \ mathbb {R}): \ theta' (u, v) = \ theta ( u, v) + b ([u, v]) $$ järjepidevuse tingimusega $$ \ theta ([u, v], w) + \ theta ([ w, u], v) + \ theta ([v, w], u) = 0 \ silt {1 '} $$ , mis $ \ theta $ span> austab sisuliselt Jacobi identiteeti.

Seega klassifitseeritakse $ \ mathfrak {g} $ projektiivne esitus $ \ Phi $ koos $ \ theta \ H ^ 2-s (\ mathfrak {g}, \ mathbb {R}) $ . Siin määratleb keskset laiendit $ \ mathfrak {g} _ \ theta: = \ mathfrak {g} \ oplus \ mathbb {R} $ valesulguga $$ [u \ oplus y, v \ oplus z] = [u, v] \ oplus \ theta (u, v) $$ ja saame lineaarse esitusviisi see $ \ mathfrak {u} (\ mathcal {H}) $ poolt $$ \ phi_ \ theta (u \ oplus z): = \ Phi (u) + a $$

Jällegi saame $ \ mathfrak {g projektsiooniliste esituste vahel bijektsiooni } $ ja selle kesksed laiendid $ \ mathfrak {g} _ \ theta $ .

Universaalsed kaaned, kesktasud

Oleme lõpuks võimelised otsustama, milliseid $ G $ esitusi peame kvantitatiivselt lubama. Eristame kolme juhtumit:

1. Kumbagi $ \ mathfrak {g} $ või $ G pole mitte triviaalset keskset laiendit $ . Sel juhul on kõik $ G $ projektsioonilised kujutised juba antud $ G $ lineaarsete esitusviiside abil . See kehtib nt. $ \ mathrm {SU} (n) $ .

2. Puuduvad $ \ mathfrak {g} $ , kuid $ G $ on eraldiseisvad kesksed laiendid $ \ mathbb {Z} _n $ asemel $ \ mathrm {U} (1) $ . Ilmselt laskuvad need ka $ G $ projektiivsetesse kujutistesse. Lie-rühmade kesksed laiendid diskreetsete rühmade kaupa lihtsalt katavad nende grupid, sest universaalne kate $ \ overline {G} $ annab rühmale $ G $ kui jagatis $ \ overline {G} / \ Gamma $ diskreetse keskse alamrühma $ \ Gamma $ on isomorfne kaetud rühma põhirühma suhtes. Seega saame, et kõik $ G $ projektsioonilised esitused on antud universaalse katte lineaarsete esitustena. Kesktasusid ei teki. See kehtib nt. $ \ mathrm {SO} (n) $ .

3. On $ \ mathfrak {g} $ ja seega ka mitte-triviaalseid kesklaiendeid $ G $ . Kui H ^ 2-s olev element $ \ theta \ (\ mathfrak {g}, \ mathbb {R}) $ ei ole null, on keskne tasu - $ \ oplus \ mathbb {R} $ generaator $ \ mathfrak {g} _ \ theta $ span > või samaväärselt keskse alarühma $ \ mathrm {U} (1) \ alamhulga G_C $ kuuluv konserveeritud laeng. See juhtub Witti algebra puhul, kus ebavõrdne $ \ theta (L_m, L_n) = \ frac {c} {12} (m ^ 3 - m) \ delta_ {m, -n } $ liigitatakse reaalarvude järgi $ c \ in \ mathbb {R} $ .