Põhjus on tõenäoliselt keskpiiri teoreem: kui lisate palju sõltumatuid juhuslikke muutujaid, moodustab nende summa normaaljaotuse, sõltumata nende individuaalsetest tõenäosuse jaotustest.See teeb tavalistest jaotustest üsna hea oletuse, kui teil pole teavet vea päritolu kohta või kui teil on mitu veaallikat.Lisaks esinevad reaalprotsessides sageli normaalsed jaotused.

Siinsed vastused on üldiselt käsitlenud erinevat küsimust, kas empiirilised muutujad peaksid olema Gaussi, kuid 21joanna12 küsis eksperimentaalsete vigade kohta, mis tunnistavad täiesti erinevat analüüsi. Parim ressurss selle küsimuse kohta, mida oskan soovitada, on E T Jaynes'i Tõenäosusteooria: Teaduse loogika 7. peatükk. Lühidalt öeldes on mõjuvaid põhjusi, miks vead on Gaussi (kuigi mitte sõna otseses mõttes alati):

• Sec. 7.2 võtab arvesse Herschel-Maxwelli tuletust , mis näitab, et dimensiooni $ \ ge 2 $ vektori väärtusega viga koos korreleerimata vigadega ortogonaalses ristkülikus komponentidel ja sfääriliselt sümmeetrilisel jaotusel peab olema Gaussi moodul. (Noh, tegelikult kontrollib raamat sõnaselgelt ainult $ 2 $ -dimensioonilist juhtumit, kuid argumenti saab hõlpsasti laiendada.
• Sec. 7.3 leiab, et Gaussi tuletis , mis näitab, et Gaussi jaotus on ainus viis, kuidas asukoha parameetri MLE võrdub andmete aritmeetilise keskmega. Tähistus eeldab $ 1 $ -mõõtmelisi andmeid, kuid arvan, et argument üldistub tingimusel, et vea ristkülikukujulised koordinaadid pole korrelatsioonis.
• Sec. 7.5 arvestab Landau tuletusega , mis esitab Taylori-seeria argumendi, et 1D vea $ e $ lõpliku dispersiooni ja nullkeskmise korral on pdf , öelge $ p $ , mis vastab difusioonivõrrandile $ \ osaline _ {\ sigma ^ 2} p = \ frac {1} {2} \ partial_e ^ 2 p $ dispersioonparameetriga $ \ sigma ^ 2 $ . Nõue, et $ \ sigma ^ 2 = 0 \ viitab p (e) = \ delta (e) $ , tähendab siis, et lahendus on Gaussi.
• Sec.7.9 näitab, et ilma eelneva teabeta on 1D vea jaotusel järgmine omadus, kui see pole Gaussi: ainulaadne valik $ w_i \ ge 0 $ koos $ \ sum_i w_i = 1 $ , mis minimeerib valimi keskmise prognoosija variatsiooni $ \ sum_i w_i x_i $ ja $ x_i $ meie $ n $ empiirilised andmed on $ w_i= n ^ {- 1} $ .
• Seotud punkt, mida käsitletakse peatükis Sec.7.11 on see, et antud lõpliku keskmise ja dispersiooni viga maksimeerib selle entroopia tingimusel, et teave, kui selle jaotus on Gaussi.Jaynes väidab, et mis tahes entroopiat maksimeerimata mudel liialdab, kui palju võime järeldada oma piiratud teadmistest.

Lühike Sec.7.12 (mille ma täielikult reprodutseerin) toob näiteid, kus me ei oota Gaussi vigu:

On palju näiteid füüsikalistest nähtustest, mida näib reguleerivat mitte Gaussi statistika.Näiteks Levy jaotus tekib valguse mitmekordsel hajutamisel häguses keskkonnas, kus footoni raja pikkus järgib seda jaotust.

Ma arvan, et igal ajal, kui teil on haruldasi, kuid olulisi sündmusi, näete statistikat, mis ei ole Gauss, näiteks päikeseplekkide jaotuse, geomagnetiliste pöörete vahelise aja jne kohta. Gaussian on tore, kuna see viib suhteliselt lihtsate analüütiliste tulemusteniarvutused (lisaks juba toodud põhjustele).Dünaamilistes süsteemides reguleeritakse energia tasemevahesid (universaalselt) Poasoni statistikaga mittekaootiliste süsteemide korral ja Wigneri tüüpi statistikat kaootiliste süsteemide puhul.

Kogu Levy lendude ala on tohutu.Eriti laserjahutuses.See raamat on suurepärane: Lévy statistika ja laserjahutus: kuidas haruldased sündmused toovad aatomid puhkama

Siin ilmuvad erinevad vastused; Lisan midagi, mida siin veel pole.

Esiteks, selleks, et juhuslike vigade väärtus oleks eeldatavalt 0 $ ja nende positiivne või negatiivne tõenäosus oleks võrdne, pole ka vajalik, et nende jaotus oleks sümmeetriline umbes 0 dollarit. $ Palju on lihtne leida vastunäiteid sellele.

• Vead $ \ varepsilon_i $ on juhuslikud; terminid $ \ alpha_0 + \ alpha_1 x_ {1, i} + \ cdots + \ alpha_p x_ {p, i} $ ei ole. "Juhuslik" tähendab tegelikult iga kord, kui võtate uue valimi $ (Y_1, \ ldots, Y_n) $, siis muutuvad vead $ n $, sõltumata sellest, mis need olid varasemate $ n $ vaatluste proovide korral. Kuid $ n \ korda p $ numbrid $ x_ {1, i}, \ ldots, x_ {p, i} $ for $ i = 1, \ ldots, n $ ei muutu; seega pole need juhuslikud.

• Iga vea eeldatav väärtus on $ 0. $

• Kõigil vigadel on sama dispersioon $ \ sigma ^ 2. $
• Vead pole omavahel korrelatsioonis.

Siin on mõned asjad, mida me ei eeldame:

• Eeldame, et vead on tavapäraselt jaotatud või kui soovite, siis "Gaussi".
• Me ei eelda, et kõigil vigadel on sama jaotus.
• Me eeldame, et vead pole sõltumatud. Korrelatsioon on nõrgem eeldus.

Pange tähele, et $ \ widehat \ alpha_k $ väärtusest $ \ alpha_k $ on lineaarne kombinatsioon $$ c_1 Y_1 + \ cdots + c_n Y_n, \ tag 1 $$, kus koefitsiendid $ c_1, \ ldots, c_n $ sõltub $ n \ korda p $ numbritest $ x_ {1, i}, \ ldots, x_ {p, i} $ for $ i = 1, \ ldots, n. $

Nende eelduste kohaselt võime näidata, et kõigi lineaarsete kombinatsioonide $ (1) $ seas, mis on $ \ alpha_k erapooletud hinnangud, annab $ kõige väiksema ruudu hinnangu see, kellel on väikseim keskmine ruutu hinnanguviga .

See on Gaussi – Markovi teoreem.

Seega pole selle järelduse saamiseks vaja Gaussi jaotust.

Gaussi jaotused on sageli ligikaudsed, mis töötavad piisavalt hästi.Positiivne on see, et nende mediaan, keskmine ja režiimid on sümmeetriliselt ühesugused ning dispersiooni leidmise algoritmid ja kõik muud olulised üksikasjad on keskkooli, bakalaureuse ja vähem matemaatikale orienteeritud teadlaste jaoks piisavalt lihtsad.

Allpool on Gaussi jaotuse domeeniks kõik arvud.See on problemaatiline, kui arvestada, et paljud katsed ei saa kunagi anda väärtusi väljaspool teatud vahemikku - nii negatiivseid väärtusi absoluutsete ühikutega (kõrgused, alad, ajad, temperatuurid jne ...) kui ka efektiivsust ja muid ühikuta väärtusi väljaspool $ [0,1] $ on sageli absurdsed.Gausslastel puudub ka mehhanism, mis seletaks viltust või kurtoosi.Me pääseme neist, sest dispersioon on sageli piisavalt madal, et need probleemid ei mõjutaks suuremaid järeldusi.

Juhuslikke vigu ei kirjeldata tavaliselt Gaussi jaotuses, kuid need on sageli piisavalt head.

Kvantimisvead on levinud praktiline näide ühtlaselt jaotatud juhuslikust veast.

Näiteks on teil digitaalne skaala, mis loetakse täpsusega 0,1 grammi.Selle sisse panite 2,5376 grammi pulbrit ja seal on kiri "2,5".Siis paned peale 3,6264 grammi pulbrit ja seal on kiri "3,6".Ja nii edasi.Teie lugemistel on viga, mis on sel juhul ühtlaselt jaotatud juhuslik arv vahemikus -0,05 kuni +0,05 iga kord.Muidugi pole see sõna otseses mõttes juhuslik - see on sisendi deterministlik funktsioon -, kuid paljudel juhtudel võib seda käsitleda juhuslikult.

(Muidugi, nagu alati, kui arvutada palju kvantimisvigu, läheneb see Gaussianile keskse piirteoreemi järgi.)