Tahtsin lihtsalt anda konkreetsema ülevaate sellest, kuidas me neid võrrandeid tunneme, kuigi meil on nende kohta analüütiliste teoreemide tõestamisega probleeme.
Kosmoses liikuvad asjad
Mõelge mis tahes ruumile jaotatud asjadele (nagu ka konserveeritud kogustele). Me teame, et saame seda kirjeldada ajast sõltuva tihedusväljaga $ \ rho (x, y, z, t) $ nii, et igal väikesel helitugevusel $ dV $ on sel hetkel mingi kogus asju $ \ rho ~ dV $. Samuti teame, et see kraam võib aja jooksul ringi liikuda ja käsitleme seda ametlikult öeldes, et tahame teada voogu läbi väikese tasase pinna $ dA, $, mis on suunatud $ \ hat n $ suunas: see see tähendab, et pind on $ \ hat n $ suhtes normaalne ja "positiivne" voog toimub $ + \ hat n $ suunas. Kombineerituna on see vektor $ d \ mathbf A = \ hat n ~ dA $ ja seal on mõni vektorväli $ \ mathbf J (x, y, z, t) $, nii et selle ala kaudu voolav kraami kogus aeg $ \ delta t $ on $ \ delta t ~ d \ mathbf A \ cdot \ mathbf J (x, y, z, t). $ Koos $ \ rho $ ja $ \ mathbf J $ teame peaaegu kõike. Kuna kraam on konserveeritud, võime öelda, et selles mahus $ dV, $, kui kasti kraami kogus muutub, siis kas sellepärast, et kasti külgedesse või väljapoole voolas netovoog, seega teeme mõnda $ \ iint d \ mathbf A \ cdot \ mathbf J $, mis Gaussi teoreemi järgi osutub lihtsalt $ dV ~ \ nabla \ cdot \ mathbf J, $ või muidu tuli see väljastpoolt süsteem, mida uurime, seega on mingi termin $ dV ~ \ Phi $. Selle samastamine lahtrisse $ dV ~ (\ osaline \ rho / \ osaline t) $ annab lihtsa algvõrrandi $$ {\ osaline \ rho \ üle \ osalise t} = - \ nabla \ cdot \ mathbf J + \ Phi. $$ Nüüd, kui meil on vooluväli $ \ mathbf v (x, y, z, t) $, mis määrab vedeliku voolamise, on kõige domineerivam transporditermin see, et kast voolab allavoolu, $ \ mathbf J = \ rho ~ \ mathbf v + \ mathbf j $ mõningate kõrvalekallete korral $ \ mathbf j. $ Tavaliselt tuleneb peamine kõrvalekalle siis Ficki seadusest, et vool on proportsionaalne tiheduse erinevusega külgnevad punktid, $ \ mathbf j = -D ~ \ nabla \ rho, $ kuid seal võib olla ka keerulisemaid termineid; eriti näeme siin survet.
Hoogu säilitamine
Põhipunkt on siin see, et $ p_x $, mis on $ x $ -direktiivi impulss, on värk. See on teadaolev konserveeritud kogus. See on konserveeritud Newtoni kolmanda seaduse otsese tulemusena, mis Emmy Noetheri tähistatava teoreemi kohaselt osutub samaks väitega, et füüsikaseadused on positsioonil $ x $ samad, kui nad on "füüsikaseaduste" sobiva määratluse jaoks positsioonil $ x + \ delta x $. Oleme selles üsna kindlad ja oleme üsna kindlad, et ka vedeliku enda impulss $ x $ -direktsioonis tuleb seetõttu säilitada ja see on $ \ rho ~ v_x $, kus ma nihutan definitsioone teile natuke : $ \ rho $ viitab nüüd massi tiheduse väljale ja $ v_x $ viitab endiselt vedeliku kiirusele $ x $ -direktiivis.
Nüüd on ajaühiku hoog, mis meie sõnul on $ $ mathbf J \ cdot d \ mathbf A $, jõud . Seetõttu on $ \ mathbf J $ selles kontekstis loomulikult jõud pindalaühiku kohta. Nüüd teame, et Newtoni viskoossete jõudude väljend oli tegelikult kirjutada $ F_x = \ mu ~ A ~ v_x / y $, kus ma liigutan vedeliku pinda kiirusega $ v_x $ risti kaugusel $ y $ kohast kus seda paigal hoitakse; see ei üllata teid üldse, kui näete, et see on väga sarnane Ficku seadusega ja selle saab kirjutada lihtsalt $ \ mathbf j_ \ text {viscosity} = - \ mu ~ \ nabla v_x. $ Sellele tuleb lisada ka rõhu mõju, kuna rõhu langetamine juhib ka vedeliku liikumist; seda on natuke raskem põhjendada, kuid see võtab kuju, et võime ette kujutada pidevat voogu $ x ~ -suunas $ p ~ \ hat x $ ja siis selle voo kõrvalekalded muudaksid impulssi ühiku kohta aeg $ - \ osaline p / \ osaline x $ selle lahknemise termini kaudu. (See on natuke lohakas viis näidata, et me räägime stressitensorist ja osa sellest on $ p ~ \ mathbf 1 $, identiteedimaatriks korrutatuna survega.) Nende ühendamine kaks $ $ mathbf j $ komponenti on meil olemas
$$ {\ osaline \ üle \ osaline t} (\ rho ~ v_x) = - \ nabla \ cdot (\ rho ~ v_x ~ \ mathbf v - \ mu \ nabla (v_x)) - \ frac {\ osaline} \ osaline x} + \ Phi_x. $$ Väline panus $ \ Phi $ pärineb jõududest, mis mõjutavad vedelikku väljastpoolt, nagu raskusjõud.
Navier-Stokesi võrrandites on Millenniumi auhind piirdunud oluliselt lihtsama juhtumiga, kus $ \ nabla \ cdot \ mathbf v = 0 $ ning $ \ rho $ ja $ \ mu $ on konstantsed, mida me nimetame "kokkusurumatuteks" voolu. " See on üldiselt kehtiv eeldus, kui suhtlete vedelikuga kiirusega, mis on palju väiksem kui selle vedeliku helikiirus; siis liigub vedelik pigem endast eemale kui surutakse ühte kohta kokku. Sellisel juhul võime kõigist ruumiderivaatidest $ \ rho $ välja vahetada ja seejärel jagada, nii et ainus mõju on kirjutada $ \ nu = \ mu / \ rho $ ja $ \ lambda = p / \ rho $ ja $ a_x = \ Phi_x / \ rho $, kõrvaldades võrrandist massiühiku. $ V_x $ jaoks on meil spetsiaalselt
$$ {\ osaline v_x \ üle \ osaline t} + \ mathbf v \ cdot \ nabla v_x - \ nu \ nabla ^ 2 v_x = - \ frac {\ osaline \ lambda} {\ osaline x} + a_x, $$ ja siis saame laiendada ülaltoodud analüüsi ka suundadele $ y, z $,
$$ \ dot {\ mathbf v} + (\ mathbf v \ cdot \ nabla) \ mathbf v - \ nu \ nabla ^ 2 \ mathbf v = - \ nabla \ lambda + \ mathbf a. $$ See on versiooni versioon Millierium Prize'is kirja pandud Navier-Stokesi võrrandid; meil on selle kohta väga sirgjooneline seletus: "Hoogu voolab väikses kastis, mis voolab allavoolu kokkusurumatus homogeenses Newtoni vedelikus, täielikult tänu vedeliku viskoossusest tingitud impulssi levikule Ficki seaduse järgi, millele lisandub jõud, mis tuleneb vedeliku viskoossusest. rõhugradiendid vedeliku sees, millele lisanduvad välise maailma poolt rakendatavad jõud. "
Miks see võrrand on?
füüsika mõistmine selle võrrandini jõudmise kohta ei ole kahtluse all. Kaalul on selle võrrandi matemaatika , eriti see $ (\ mathbf v \ cdot \ nabla) \ mathbf v $ termin, mis sisaldab $ \ mathbf v $ kaks korda ja muudab seeläbi mittelineaarne osaline diferentsiaalvõrrand: antud kaks kehtivat voovälja $ \ mathbf v_ {1,2} $, üldiselt $ \ alpha \ mathbf v_1 + \ beta \ mathbf v_2 $ ei lahenda see võrrand, eemaldades tööriistakastist meie kõige võimsama tööriista.
Mittelineaarsust osutub üldiselt uskumatult raskesti lahendatavaks ja Clay Mathematics Instituut annab miljoni dollari suuruse preemia kõigile, kes lõhuvad mittelineaarset diferentsiaalvõrranditeooriat piisavalt tugevalt, et saaksid vastata ühele põhilisemale matemaatilisele küsimusele need Navier-Stokesi võrrandid, mis on nende uue teoreetilise tööriistakomplekti "kõige elementaarsem näide".
Savi auhindade idee seisneb selles, et need on spetsiifilised probleemid (mis on oluline lahenduse eest auhinna määramisel!), kuid näivad eeldavat võimsaid uusi üldisi ideid mis võimaldaks meie matemaatikal minna kohtadesse, kuhu see pole ajalooliselt suutnud minna. Näete seda näiteks jaotises $ \ text {P} = \ text {NP} $, see on väga konkreetne küsimus, kuid sellele vastamiseks näib, et meil oleks vaja paremini hakkama saada "siin on klassifitseeritud kraamikomplekt, millised arvutid oskavad ja siin on mõned asjad, mida arvuti ei suuda tõhusalt teha ", mida keegi pole veel suutnud veenvalt esitada. Uus tööriistakomplekt, mis suudaks selle "rumala väikese" küsimuse lahendada, parandaks seetõttu oluliselt meie võimet töötada arvukate seotud probleemide klassis.