Üldrelatiivsusteooria on matemaatiline teooria, mis üldistab relatiivsusteooria ja mehaanika eriteooria. Selgub, et gravitatsiooniefekte võib käsitleda mitteinertsiaalsete jõududena tänu ühele seda teooriat reguleerivale põhimõttele, mida peetakse ka kõige olulisemaks, nimelt Einsteini postuleeritud samaväärsuse printsiibiks. See, et aegruumi mõõdik peab olema kohapeal lame, s.t Minkowski, on selle põhimõtte tagajärg. Tegelikult ütleb ekvivalentsuse põhimõte, et vabalt langevas tugiraamis, s.t etalonis, kus puuduvad inertsjõud, on füüsikaseadused erirelatiivsusteooria seadused. Kuna olete matemaatik, pole mul vaja meelde tuletada, et kui kollektoril on nullkumeruse tensor, siis on kollektoril globaalsed koordinaadid nii, et meetermensori komponendid, näiteks $ g $, on täpselt Minkowski mõõdik $ \ eta = \ operaatori nimi {diag} (1, -1, -1, -1) $.

Mõõdik $ g $ kollektoril $ M $, mis kirjeldab aegruumi, pole a-priori antud, kuid selle määrab aine jaotus. Nüüd tuleb teie küsimus üldrelatiivsusteooria objektide kohta. Need objektid on igasugused geomeetrilised objektid, mille saate konstrueerida (siledale) jaoturile. Seega on teil ükskõik millise astme tenorid ja isegi igasuguse astmega spinorid. Mis teeb neist füüsilised objektid, on lihtsalt nende tõlgendus. Einsteini väljavõrrandid

$$ \ text {Ric} - \ frac12 \ operaatori nimi {Tr} (\ text {Ric}) g = \ chi T, $$

kus $ \ tekst {Ric} \ T ^ * M \ otimes T ^ * M $ on Ricci tensor, $ g \ in T ^ * M \ otimes T ^ * M $ mõõdik $ M $ ja $ T \ T ^ * M \ otimes T ^ * M $ energia-pingetensor, annab teile metika $ g $ energia-aine jaotuse $ T $ kohta $ M $, mis on lihtsalt $ M $ tensori tihedus.

Matemaatiline probleem, mille abil uuritakse meetrikaga $ g $ geodeetika uurimist kollektoril $ M $, on samaväärne aine jaotuse tekitatud gravitatsiooniväljas vabalt langeva osakese liikumise määramise füüsilise probleemiga $ T $ nii, et saadud mõõdik oleks $ g $.

Üks kõige relatiivsusteooria kõige tähelepanuväärsemaid ennustusi on nn mustade aukude olemasolu. Jällegi leiate need objektid, uurides Einsteini võrrandite lahendite matemaatilisi omadusi ja andes neile seejärel füüsilise tõlgenduse. Füüsikas on mõni karm olukord, kui te ei saa oma teooriate põhjal tugineda vaatlustele ja katsetele. Seetõttu peate alustama matemaatilise teooriaga ja arendama seda nii palju kui võimalik. Iga saadud tulemus tõlgendatakse seejärel füüsiliselt. See on üsna üldrelatiivsusteooria olukord (vt nt gravitaalsete lainete tuvastamise probleem või paljaste singulaarsuste jälgimine).

Neid parameetrite komplekti nimetatakse tavaliselt väljadeks . Nad annavad panuse GR-i võrrandi "paremal küljel"

$$ G _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} $$

Kuna te mainisite et olete matemaatik, lubage mul olla veidi tehnilisem ja sõnatum. aegruum on antud Lorentzi kollektorist $ (M, g) $. Olekuväljadeks tuleks lugeda kogu $ \ {\ Phi_A \} _ {A \ sisse \ mathcal {A}} $, kus $ \ mathcal {A} $ on mingi indekseerimiskomplekt, iga üksik $ \ Phi_A $ olles osa kiudkimbust $ (E_A, M, \ pi_A) $ üle $ M $. (Mateeria väljade jaoks on üldisemaid võimalusi, kuid jäägem neist nüüd kinni.) Näiteks annab skalaarvälja triviaalne kompleksjoonekimp üle M $, samas kui Maxwelli elektromagnetismi teooria tavaline kirjeldus tunnistab välja formuleerimine (vektoripotentsiaal) kotangentkimpu $ T ^ * M $ sektsioonina.

Väljade dünaamika on tavaliselt ette nähtud mõningate liikumisvõrranditega ja nende panust gravitatsiooni peetakse nende panuseks energiaimpulsitensorisse

$$ T _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} (\ {\ Phi_A \} _ {A \ in \ mathcal {A}}) $$

sellisel viisil et tingimus

$$ \ nabla ^ \ mu T _ {\ mu \ nu} = 0 $$

kus $ \ nabla $ on mõõdiku $ g $ kovariandne tuletis on rahul. (Selle põhjuseks on see, et identiteet peab kehtima Einsteini võrrandi vasakus servas vastavalt lepingulisele Bianchi identiteedile.)

Pange tähele, et üldrelatiivsusteooria on iseenesest gravitatsiooniteooria. See ei täpsusta tegelikult, millised on asja väljad. See nõuab ainult seda, et aineväljadel, kui need on olemas, oleks dünaamika, mis järgiks energiaimpulsitensori lahknemistingimuse antud kaitseseadust. Maailma tegeliku füüsilise mudeli saamiseks peate välja mõtlema mõned reeglid, mis reguleerivad aineväljade käitumist. Kaasaegses füüsikas toimub see tavaliselt mingisuguse toimimispõhimõtte kaudu, kuna Euleri-Lagrange'i võrrandid ühilduvad automaatselt ülaltoodud lahknevuse tingimusega, kui võtate $ T _ {\ mu \ nu} $ olla tegevuspõhimõttest tulenev Einsteini-Hilberti stressienergia.

GR-s tuleb "objektid" (mis iganes need teie probleemiks võiksid olla) kaardistada pinge-energia tensoriga, mille GR-väljavõrrandid on seotud kollektori kõverusega. See kaardistamine ei ole tegelikult GR osa, kuid see on kindlasti osa GR igapäevasest rakendusest, ehkki see erineb sõltuvalt probleemist ja sellest, millist füüsiliste objektide kirjelduse taset kasutatakse.

Üks sissejuhatav füüsiline objekt, mida minu sõnul on GR sissejuhatavates tekstides sageli näiteks "tolm", tsiteerides Schutzi: "" tolm "on määratletud kui osakeste kogum, mis kõik on ühes Lorentzis puhkeasendis. raam ". Määratlete osakeste tiheduse mahus ja osakeste impulssvoo komponent $ \ alfa $ kogu pideva $ \ be $ $ risti asuva pinna vahel on üks pinge-energiatensori $ T ^ komponente. \ alpha \ beta} $. Nii et $ T ^ {00} $ on tolmuosakeste energiakomponendid konstantsel ajal, see tähendab energiatihedus.

Sealt saate jätkata keerukamate objektide, näiteks vedelike, elektromagnetväljade jms lisamist, kui need kaardistate pinge-energia tenorisse.

Ma ütleks, et mis puutub üldrelatiivsusteooriasse, siis "objekt" on üsna tühine termin. See, mida keegi tegelikult vaatab, on stress-energia tenori mõningane häirimine. Einsteini võrrandid (ilma kosmoloogilise konstandita) on $ G _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $, mis määratleb seose Einsteini kõveruse ja seetõttu meetermõõdustiku ja pinge-energia tensiori antud punktis. Ma arvan, et see tensor on see, mida need "parameetrid" otsite, kuna see määratleb energia tiheduse, energiavoo, nihkepinge ja rõhu.

„Objektid”, mis on relativistliku füüsika uuringud, on samad, mida inimesed uurivad mitte-relativistlikus füüsikas. Mõelge mõned näited:

• Kui olete seotud relativistliku mehaanikaga, võite kaaluda laiendatud objekte, näiteks vardad pikkusega L, ja arvutada intertia hetki. (Siin on objektiks varras)

• Kui uurite kvantmehaanikat, siis uurite pigem Diraci kui Schrodengeri võrrandit (siin on uuritavad objektid elektronid)

• Kui uurite statistilist mehaanikat, võite olekuvõrrandit uurida pigem footonite kui mitte-relativistliku gaasi asemel. (mitte juhul, kui siinne objekt kehtib, kui me ei räägi footonite kogumist endast)

Põhilised uuritavad asjad on ikka samad asjad, mida uurisite mitte -relativistlik füüsika. Midagi seal tegelikult ei muutu. Muutub on aluseks olevate kollektorite geomeetria, kus uuritavad objektid elavad. See lisab tavaliselt kaks asja olenemata sellest, kas räägite erilist või üldist relatiivsusteooriat:

• Lisaterminid potentsiaalides, mida kasutatakse objektide interaktsioonide kirjeldamiseks

• Lisaterminid liikumiste võrrandites, mis tulenevad aegruumi geomeetriast, milles objektid elavad.

Üldrelatiivsusteooria on endiselt füüsika, nii et vaadake kõigepealt füüsikat, et mõista, mida proovite uurida. Esitatavad küsimused on endiselt samad. Ma tean, et mõnikord on raske mõista, et kui tõmbate lahti raamatu, milles on kirjas üldrelatiivsusteooria ja arutelu keerleb seoste, kumeruse, välise algebra ja muu ümber, kuid uurimisobjektid on endiselt olemas, nagu te õigesti väidate. :) Minu ettepanek on lahti murda füüsika põhiraamat ja proovida leida siis relativistlikud analoogid sellele, mida näete seal arenenumatest raamatutest nagu Misner, Thorne ja Wheeleri gravitatsioon või Robert Waldi üldrelatiivsusteooria. Mõlemal on GR-le väga füüsiline lähenemine ja teil võib olla lihtsam sellisel viisil objektide juurde jõuda.

Klassikaline GR saab uurida ainult objekte, mida saab modelleerida tensoriväljadega (aegruumi Lorentzi kogumil). Mõõtur on muidugi ise tensorväli ja loodusseadused peavad võtma vormi, mis võrdsustaks kaks tensorivälja samade kovariantsuse omadustega , s.t sama tüüpi. Nüüd oleks üsna rumal, kui mõõdik ise võrrandis ei harjuks, nii et see seab inimese otsingule mingid piirangud ...

Kui ainet peetakse mingiks pidevaks jaotuseks, näiteks tihedus, seda saab hästi modelleerida teiste plakatite mainitud pinge-energia tensoriga. Hüdrodünaamikat saab ka päris hästi teha. Elektromagnetism, vähem hästi, kuid midagi saab teha. Teie küsimusele väga otse vastamiseks on siis ainsad parameetrid ruumi ja aja koordinaadid ning ainsad objektid on need tensoriväljad ja see piirab GR-i, nii et see ei saa kvantefektide, näiteks lainete või pöörlemisega, head tööd teha. Klassikalisi osakesi saab ravida, kui lasta massienergia "vedeliku" (ma arvan, et see on parem sõna kui pulber või tolm) ainetihedusel teatud singulaarsusi, kindlasti on neil mitte saada mis tahes tüüpi parameetrid. Selles osas sarnaneb see väga Newtoni ja Euleri dünaamika ja hüdrodünaamikaga.