Mõõdame oma vektorid meetrites, lihtsalt selleks, et valida konventsioon (hiljem teen seda sekunditega, et näeksite, et see ei mõjuta põhiideid).
Antud punkt aegruumis $ (ct_1, x_1, y_1, z_1) $ ja veel ühes punktis $ (ct_2, x_2, y_2, z_2) $ saame hõlpsasti konstrueerida kolm asja.
1) Vektor $ \ vec { v} = (c (t_2-t_1), x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) $, mis osutab ühelt teisele.
2) Sobiv pikkus $ l = \ sqrt {c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2- (y_2-y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2} $ selle omamoodi vektorist $ \ vec {v} $.
3) Ja lõpuks ühikvektor $ \ vec {u} = \ vec {v} / l $, mis võrdub $ \ frac {(c (t_2-t_1), x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)} {\ sqrt {c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2- (y_2- y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2}} $.
Arvude (skalaaride) ja vektoritena (geomeetrilised nihked) nõustuvad kõik. Vektorid võivad erinevatele vaatlejatele ilmuda erineva arvu numbritena (kujutage ette, et valite oma $ x $ -telje helistamiseks erineva suuna, geomeetriline üksus on sama nihkega, kuid saate erinevaid numbreid).
Nüüd kui te ei tahtnud meetrites mõõta, saate seda teha uuesti, jagades kõik $ c $ -ga, välja arvatud, et osutub, et $ u $ on sama.
1) Vektor $ \ vec { V} = (t_2-t_1, (x_2-x_1) / c, (y_2-y_1) / c, (z_2-z_1) / c) $, mis osutab ühelt teisele.
2) Sobiv pikkus $ L = \ sqrt {(t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2 / c ^ 2- (y_2-y_1) ^ 2 / c ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2 / c ^ 2} $ sellest omamoodi vektorist $ \ vec {V} $.
3) Ja lõpuks ühikvektor $ \ vec {U} = \ vec { V} / L = \ vec {u} $, mis võrdub jällegi $ \ frac {(c (t_2-t_1), x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)} {\ sqrt {c ^ 2 (t_2- t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2- (y_2-y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2}} $.
Nii et teil on vektor $ \ vec {v} $ kahe aegruumipunkti vahel, vektorina on selle pikkus $ l $ ja vastav ühikvektor $ \ vec {u} = \ vec {v} / l $, mis jälgib aegruumi suunda, kuid eirab, kui palju hajumine (või isegi milliseid ühikuid te kasutate, vaid aegruumi suund).
OK, nüüd jõuame teie küsimuseni. Kui arvestada kahte punkti, on meil aegruumi nihe $ \ vec {v} $, ühiku nihe $ \ vec {u} $, mis ütleb meile, millisesse ruumi aegruumi minna (kuid millel puudub informatiivne pikkus või isegi ühikud) ja pikkus $ $ $ ütleb meile, kui kaugele aegruumis tuleb minna (ja millel on pikkuse või ajaühikud). Kui keegi ütleb õiget aega, viitab ta omalaadse vektori pikkusele, võib-olla pikkuse asemel ajaühikutes.
Levinud põhjus, miks inimesed ütlevad ruumisarnaste üksuste jaoks õige pikkuse ja õigeaegsete üksuste jaoks sobiva aja õpikud ei tulene sellest, et neile hooliks palju vastuse ühikud (see on lihtsalt pikkuse mõõt), vaid seetõttu, et pikkus ruudus $ l ^ 2 = c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2- (y_2-y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2 $ on see, mida on lihtne arvutada ja õigeaegse aegruumi nihutamise jaoks $ c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2 - (y_2-y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2 $ on positiivne, ruumilise nihke korral aga $ -c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1 ) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2 $ on positiivne. Meile meeldib, kui ruutjuured on positiivsed arvud, seega meeldib inimestele kasutada valemeid nagu $ \ tau = c ^ -1 \ sqrt {c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2- (x_2-x_1) ^ 2- (y_2- y_1) ^ 2- (z_2-z_1) ^ 2} $ ja $ l = \ sqrt {-c ^ 2 (t_2-t_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + ( z_2-z_1) ^ 2} $. Ainus tegelik põhjus, miks teil on kaks valemit, on see, et siis võtate positiivse arvu ruutjuure. Mõlemal juhul on mõte sama: nihke suurus (õige pikkus või õige aeg) ja suund (ühikvektor aegruumis), nende korrutis annab teile nihke.
Nii nagu kolme- tühik, vektor $ (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ on suurusjärgus $ r = \ sqrt {(\ Delta x) ^ 2 + (\ Delta y) ^ 2 + (\ Delta z ) ^ 2} $ ja ühikvektor (suuna jaoks) $ ((\ Delta x) / r, (\ Delta y) / r, (\ Delta z) / r) $.
Muuda: ma vist ei vastanud tegelikult küsimustele.
Esimene küsimus: kas vektoriks olemise õigeks ajaks on midagi puudu?
Jah, õige aeg on suurusjärk, mitte vektor, see on lihtsalt pikkus aegruumis, sellel iseenesest pole suunda, on palju suundi, mida saaksite läbida kõik sama pikkuse / suurusega.
Teine küsimus: mida see vektor veel ajasuunas õige aja suurusega osutab?
Vektor, mis osutab ühelt sündmuselt teisele, näeb kaadris välja nagu $ (\ tau, 0,0,0) $, mis inertsiaalselt liigub ühelt sündmuselt teisele. Kuid vektor $ (\ tau, 0,0,0) $ erineb skalaarist $ \ tau $. Nagu oleksite kõndinud põhja poole viie meetri kauguselt, see on 5, on kõik nõus. Ja teie jaoks võib kosmosevektor olla $ (5,0,0) $, aga mis siis, kui keegi teine sooviks panna ida esimeseks ja põhja teiseks? Siis nad ütlevad, et vektor on $ (0,5,0) $. Vektor peab teile suuna ütlema. Kui te kõik ütlete mulle, et kõndisite 5 ühikut, ei saa ma öelda, kas kõndisite $ (5,0,0) $, $ (0,5,0) $, $ (0,0,5) $ või isegi $ (3,4,0) $. Vektor ütleb teile suuna ja suuruse, kuid ainult siis, kui ütlete kõigepealt 3 (või 4) arvu.